Разговор о ТФ-концепции сущности математики на разных площадках

Площадок, где шел бы разговор о ТФ-концепции сущности математики, пока очень мало. Думаю попробовать завести такой разговор на каком-нибудь подходящем форуме.

Замечания внимательного читателя

Читаю обсуждение ТФ-концепции сущности математики на форуме Алекса Экслера.

Попробую здесь выступить в роли внимательного читателя.

Мне кажется, что в определении чистой математики (п.2.6) недостает одной характеристики метода, которым пользуется математика в своей работе. А именно: рефлексия!

Вот примеры:

а) «решить уравнение» как термин;

б) дополнительный множитель, который пишется, но не является частью дроби;

в) использование понятия «математический объект».

Без учета рефлексии приведенные примеры «выпадают» из математики. Я неправ?

Преподавание математики должно опираться на правильное понимание сущности этой науки.

Математика занимается объектами, существующими только в воображении (см. ТФ-концепцию сущности математики Р.Думминича). Это необходимо объяснять учащимся. Иначе что, например, возразить ученику, который уверен, что 0-5=0, и аргументирует тем, что если ничего не было, то - что ни отнимай, ничего не изменится?

С другой стороны, математика имеет отношение к реальному миру.
Как пишет Р.Думминич,

«Присущий математике абстрактный характер (вымышленность объектов и отвлеченность их описаний и характеристик) не влечет необходимости сугубо абстрактного преподавания предмета в школе».
Изначально математика тесно связана с опытом, и эту связь не стоит игнорировать. Например, при знакомстве с действием деления не стоит игнорировать аналогию с делением еды поровну между едоками. Иначе, при абстрактном определении деления как операции, обратной к умножению, школьники нередко затрудняются в практических вычислениях частного, не понимая, что можно разбить делимое на части.

Вообще два процесса - формальное построение математики и освоение математики — совершенно разные. Вести второй процесс, копируя первый, - серьезная ошибка.

Преподавание математики и психология

В сборниках ФИПИ по ЕГЭ (математика) советуют на экзамене
пропускать задачу, которую не удается выполнить, а потом (при наличии времени) вернуться к ней.
Это правильный совет, учитывающий данные психологии о работе подсознания.

Но в прежние времена, до ЕГЭ, во многих учебных пособиях рекомендация была иная:
решать задачи, начиная с самых простых, и переходя постепенно к более трудным.
Этот совет противоречил данным психологии, но публиковался в течение многих десятков лет!

Боюсь, что во многих вопросах методики преподавания математики и сейчас царит такое же непонимание психологии.

Честность в преподавании математики: не скрывать, что объекты - воображаемые!

Я задумался над таким текстом :

Представим себе, что, отказавшись от терминов обычного языка «точка», «прямая», «плоскость», «луч», «угол» и других, о которых и без специального описания у людей есть представление, при изложении геометрии стали бы пользоваться какими-нибудь буквами. Аксиома могла бы звучать так: «через две ЭТЫ можно провести одну и только одну ТЭТУ». Вот так зазвучат теоремы: «из ЭТЫ, не лежащей на ТЭТЕ, можно провести КАППУ к этой ТЭТЕ, и притом только одну». А чем плохо?! Ведь доказательства аксиоматизированной геометрии «не используют» понимание слов, взятое из обычного языка! Представить себе судьбу математики в этом случае страшновато.

А ведь и вправду, не похоже ли современное преподавание математики на эту, можно сказать, апокалиптическую картину?
Ведь порой мы совсем никак не объясняем учащимся, что такое «точка», «прямая», «множество» и т.д. Мол, раз уж это «неопределяемые» понятия, то пусть сами дойдут. И они «доходят» - кто в лес, кто по дрова!

Опросите десяток восьмиклассников: могут ли точки быть разной величины? Упадете от ответов! Спросите также, может ли в множестве быть мало элементов? Можно ли через точку провести две параллельные прямые? Не догадываетесь, что они скажут? И удивитесь ли Вы, когда в ответ на провокационный вопрос «какую самую длинную прямую тебе приходилось видеть?» получите конкретные размеры. К этому примыкает и «понимание» чертежа: в ответ на вопрос, какова длина отрезка АВ, берут в руки линейку и пытаются его измерить. И дело тут не только в непонимании роли условия задачи. Ведь если людям не объяснили, что геометрия изучает объекты, находящиеся только в воображении, то почему же тогда отрезок не может быть для них конкретным изображением на листе? Да, в 10-м классе некоторые учебники открывают «тайну», что здесь, оказывается, изучают воображаемые объекты... Поздняк метаться, господа! Учащиеся уже давно разделились на тех, кто интуитивно уловил суть дела, и прочих. И навряд ли справедливо винить последних при такой методе изложения математики. Принципиальная ошибка этой методы в том, что «неопределяемость» внутри математики смешивается с неопределяемостью для входящих в математику!
Бедные дети!